Δειγματοληψία με ή χωρίς αντικατάσταση

Επίδραση στις πιθανότητες:
Για να δείτε πώς χειριζόμαστε ότι η αντικατάσταση επηρεάζει τον υπολογισμό των πιθανοτήτων, εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα ερώτησης. Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξετε δύο άσους από μια τυπική τράπουλα;
Αυτή η ερώτηση είναι διφορούμενη. Τι συμβαίνει μόλις τραβήξουμε το πρώτο φύλλο; Το ξαναβάζουμε στο κατάστρωμα ή το αφήνουμε έξω;
Ξεκινάμε με τον υπολογισμό της πιθανότητας με αντικατάσταση. Υπάρχουν τέσσερις άσοι και 52 φύλλα συνολικά, οπότε η πιθανότητα να τραβήξετε έναν άσο είναι 4/52. Αν αντικαταστήσουμε αυτό το φύλλο και τραβήξουμε ξανά, τότε η πιθανότητα είναι πάλι 4/52. Αυτά τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα, επομένως πολλαπλασιάζουμε τις πιθανότητες (4/52) x (4/52) = 1/169, ή περίπου 0,592%.
Τώρα θα το συγκρίνουμε με την ίδια κατάσταση, με την εξαίρεση ότι δεν αντικαθιστούμε τις κάρτες. Η πιθανότητα να τραβηχτεί ένας άσος στην πρώτη ισοπαλία εξακολουθεί να είναι 4/52. Για το δεύτερο φύλλο, υποθέτουμε ότι έχει ήδη κληρωθεί ένας άσος. Πρέπει τώρα να υπολογίσουμε μια υπό όρους πιθανότητα. Με άλλα λόγια, πρέπει να ξέρουμε ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξουμε δεύτερο άσο, δεδομένου ότι το πρώτο φύλλο είναι επίσης άσος.
Τώρα απομένουν τρεις άσοι από τα συνολικά 51 φύλλα. Άρα η υπό όρους πιθανότητα ενός δεύτερου άσου μετά την ισοπαλία άσου είναι 3/51. Η πιθανότητα να τραβήξουμε δύο άσους χωρίς αντικατάσταση είναι (4/52) x (3/51) = 1/221, ή περίπου 0,425%.
Βλέπουμε άμεσα από το παραπάνω πρόβλημα ότι αυτό που επιλέγουμε να κάνουμε με την αντικατάσταση έχει σχέση με τις τιμές των πιθανοτήτων. Μπορεί να αλλάξει σημαντικά αυτές τις τιμές.
https://www.greelane.com/el/%CE%B5%CF%80%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%AE%CE%BC%CE%B7-%CF%84%CE%B5%CF%87%CE%BD%CE%BF%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%AF%CE%B1-%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC/%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC/sampling-with-or-without-replacement-3126563